Меню

Уравнение непрерывности плотности полного тока

Электромагнитные поля и волны. Основные понятия электродинамики , страница 5

Последнее уравнение равно нулю, так как отсутствуют токи, и оно нарушает принцип симметрии. Эту несправедливость английский физик-математик устранил и правую часть записал так:

Правая часть есть ток, а подинтегральное выражение есть плотность тока смещения, используя связь :

Плотность тока смещения в веществе есть сумма – плотности тока смещения в вакууме и плотности тока смещения в веществе, – это ориентирующиеся по внешнему электрическому полю диполи (полярные молекулы и неполярные, свободные заряды).

Классификация электромагнитных полей. ЭМП классифицируют по многим признакам. Рассмотрим классификацию ЭМП по времени. Различают следующие виды ЭМП: в зависимости от векторов поля, от времени:

– переменное ЭМП, зависимость от времени сложная, определяется видом передаваемой информации;

– монохроматическое ЭМП, зависимость простая, это sinωt или cosωt. Это ЭМП одной частоты, не может передавать информацию. Используется для анализа сложных переменных ЭМП. Суммируя монохроматические поля, с различными амплитудами и фазами, можно получить сложные переменные ЭМП. На практике монохроматическое ЭМП получить невозможно.

– стационарное ЭМП, зависимость от времени векторов поля отсутствует, это поле постоянных токов. Информацию не передает.

– статические ЭМП, отсутствует зависимость от времени, отсутствует движение зарядов, нет токов. Такие ЭМП используют для испытания на электрическую прочность различных узлов.

В дальнейшем в данном учебном пособии будет рассматривать монохроматическое ЭМП.

По форме силовых линий ЭМП могут быть вихревыми – силовая линия замкнута сама на себя, и потенциальными – силовая линия разомкнута, начинается и заканчивается на электрических зарядах. Электрическое поле может быть вихревым и потенциальным, магнитное поле всегда вихревое.

Закон сохранения зарядов в интегральной форме утверждает, что изменение электрического заряда в любой пространственной области может происходить только вследствие перемещения зарядов. Это фундаментальный закон природы. Физической причиной, вызывающей изменение во времени свободного заряд Q внутри объема V, это значит ∂Q 0, а ∂Q 5

Источник

2.Постоянный электрический ток

2.1.Электрический ток. Сила и плотность тока. Уравнение непрерывности для плотности тока

Электрический ток – всякое упорядоченное движение электрических зарядов. Электрический ток, который возникает как упорядоченное движение свободных зарядов под действием электрического поля в проводящих средах, называется током проводимости.

Кроме тока проводимости существуют другие виды тока. Если какое-то тело зарядить и перемещать в пространстве, то в этом случае электрические заряды будут перемещаться вместе с макроскопическим телом. Такой ток называют конвекционным или переносным.

В случае тока в вакууме микроскопические электрические заряды движутся в пустоте независимо от макроскопических тел (например, потоки электронов в электрической лампе).

Для существования и появления тока необходимы следующие условия:

— наличие в данной среде свободных носителей заряда, т.е. частиц, которые могли бы упорядоченно перемещаться.

— существование в данной среде внешнего электрического поля, энергия которого расходуется на упорядоченное перемещение электрических зарядов.

— источник энергии, пополняющий запас энергии электрического поля.

За положительное направление тока принято направление упорядоченного движения положительных электрических зарядов.

Сила тока – это скалярная величина, равная отношению заряда dq, переносимого через рассматриваемую поверхность dS за малый промежуток времени, к величине dt этого промежутка:

.

Если сила и направление тока не меняется во времени, ток называется постоянным: ,

Читайте также:  Мгновенные токи по фазам

где q –заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность за конечный интервал времени t .

Сила тока в системе СИ измеряется в Амперах .

Характеристикой тока, отражающей его распределение по поверхности, является плотность тока . Плотность тока — векторная величина, направленная противоположно движению электронов, и численно равная отношению силы токачерез очень малый элемент поверхности, нормальный к направлению движения зарядов, к величине площади этого элемента: , где — орт вектора, совпадающий с нормалью к поверхности. Для произвольно ориентированного элементаdS имеем: , где -угол между направлением тока и нормалью кdS.

Для постоянного тока по всему поперечному сечениюS однородного проводника, сила тока I=jS.

Зная вектор в каждой точке пространства, можно найти силу тока через любую поверхность: . Таким образом, сила тока есть поток вектора плотности тока через поверхность S.

Электрический ток может быть обусловлен движением как положительных, так и

отрицательных носителей. Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда в противоположном направлении.

Если ток создается носителями обоих знаков, и за время dt через данную поверхность положительные носители переносят заряд в одном направлении, а отрицательные — зарядв противоположном, то сила тока равна

.

Поле вектора плотности тока можно изобразить с помощью линий тока, это кривые, касательные в каждой точке к которым совпадают по направлению с вектором .

Пусть в единице объема содержится положительных носителей и– отрицательных. Алгебраическая величина зарядов носителей равна соответственнои. Если под действием поля носители приобретают средние скоростии, то за единицу времени через единичную площадку пройдетположительных носителей, которые перенесут заряд, отрицательные носители перенесут в противоположном направлении заряд.

Тогда плотность тока равна , или в векторной форме, оба слагаемых имеют одинаковое направление (скоростьнаправлена противоположно,дает знак минус, поэтомуимеет то же направление, что). Произведение— плотность заряда положительных носителей,–плотность заряда отрицательных носителей, тогда.

Рассмотрим некоторую среду, в которой течет ток. Выберем воображаемую замкнутую поверхность S. Заряд, выходящий в единицу времени из объема V,ограниченного поверхностью S, согласно закону сохранения заряда, равен скорости убывания заряда q, содержащегося в данном объеме (рис.2.1) .

Но, тогда. Преобразуем это выражение по теореме Остроградского-Гаусса, имеем. Это равенство выполняется при произвольном выборе объемаV, следовательно, в каждой точке пространства должно выполняться условие

.

Это равенство получило название уравнения непрерывности. Оно выражает закон сохранения заряда. Согласно этому уравнению, в точках, которые являются источниками вектора , происходит убывание заряда.

В случае стационарного тока объемная плотность заряда не зависит от времени, тогда уравнение непрерывности имеет вид:

в случае постоянного тока векторне имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Следовательно, линии постоянного тока всегда замкнуты, и число линий, входящих в замкнутую поверхность, равно числу линий, выходящих их поверхности, .

Источник

Лекция 11

1.Понятие о токе

Определение: Направленное (упорядоченное) движение заряженных частиц называется электрическим током.

Если речь идет о движении микрочастиц, то говорят о токе проводимости. А, если о движении макрочастиц, то говорят о токе конвекции.

Исторически сложилось, что за направление тока принимают направление движения положительно заряженных частиц.

2.Плотность тока и сила тока

Для характеристики постоянного тока вводят две физические величины: векторную – плотность тока и скалярную – сила тока.

Читайте также:  500 ампер сила тока

Определение: Плотностью тока называется физическая величина, определяющая заряд, прошедший через площадку dS за время dt следующим образом.

Пусть все частицы одинаковые и имеют заряд q и скорость υ, которая называется средней или упорядоченной или дрейфовой скоростью.

Определение: Силой тока называется поток плотности тока через какую-либо поверхность.

Силу тока можно определять как заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время Δt. Данное выражение используется для определения единицы заряда.

3.Единицы силы и плотности тока

Определение: 1 Ампер – единица СИ электрического тока, равная силе такого неизменяющегося тока, который при прохождении по двум бесконечно длинным проводникам ничтожно малой площади поперечного сечения вызывает силу взаимодействия между ними 2·10 -7 Н на 1 м длины.

Плотность тока измеряется в А/м 2 .

4.Действия электрического тока

Непосредственно наблюдать электрический ток нельзя. О его существовании судят по макроскопическим проявлениям.

Измерительные приборы, определяющие ток.

Приборы нагревательных элементов.

Происходят химические превращения при протекании тока.

5.Уравнение непрерывности

Закон сохранения заряда утверждает, что в замкнутой системе заряд сохраняется. Если система не замкнута, то заряд может изменяться.

Данное уравнение называется уравнением непрерывности в интегральной форме. Производная по времени связана с временной зависимостью заряда. Данное уравнение считается постулатом. По смыслу – это закон изменения заряда.

Используя понятие объемной плотности заряда и формулу Остроградского-Гаусса

– уравнение непрерывности в дифференциальной форме.

Если ток постоянный, то , следовательно, линии плотности тока являются замкнутыми.

6.Поле в проводнике при постоянном токе

Если есть ток, значит, есть движение зарядов, следовательно, есть сила, которая заставляет двигаться заряды, есть ток, есть напряженность, которая направлена вдоль тока. В общем случае напряженность направлена под углом к поверхности. Если есть напряженность, то градиент потенциала вдоль проводника не равен нулю, следовательно, потенциал вдоль проводника изменяется. Говорят о падении потенциала.

7.Закон Ома в дифференциальной форме

Плотность тока и напряженность вдоль проводника взаимосвязаны между собой. Разумно предположить, что это самая простая связь, т.е. линейная.

где σ – удельная электропроводность.

Данный закон является постулатом.

Для металлов закон выполняется почти всегда, для полуметаллов начинаются отклонения при очень больших плотностях тока. Для других линейную связь можно заменить тензорной и закон Ома замыкает уравнения Максвелла.

Из этого соотношения следует, что линии плотности тока и линии напряженности при постоянном токе совпадают, а, следовательно, распределение полей можно изучать по распределению тока (метод электролитической ванны).

8.Закон Ома в интегральной форме.

Наряду с удельной электропроводностью, вводят понятие удельного сопротивления.

Сила тока I вдоль проводника не изменяется.

Интеграл в левой части назовем сопротивлением проводника между точками 1 и 2.

– напряжение между точками электрической цепи.

– закон Ома в интегральной форме.

9.Сопротивление и проводимость.

Сопротивление зависит от геометрии и от вещества, из которого сделан проводник.

Для цилиндрического проводника одинакового поперечного сечения оно вычисляется особенно просто.

Измерив сопротивление, можно вычислить ёмкость и наоборот.

Данное устройство иногда называется конденсатором с утечкой.

По физическому смыслу, удельное сопротивление – это сопротивление куба вещества с ребром 1 м, если подводящие провода подключены к центрам противоположных граней.

Читайте также:  Фокусы с электрическим током

Источник



Уравнение непрерывности плотности полного тока

Если через некоторую поверхность переносится суммарный заряд, отличный от нуля, то говорят, что через эту поверхность течет электрический ток. Ток может протекать в твердых телах, в жидкостях и в газах. Для протекания тока необходимо наличие в данном теле (или в данной среде) заряженных частиц, которые могут перемещаться в пределах всего тела. Такие частицы называются носителями тока. Ими могут быть электроны, ионы либо макроскопические частицы (например, заряженные пылинки, капельки), несущие избыточный заряд.

Направлением тока условились считать направление движения положительно заряженных частиц. Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, названы линиями тока. Для количественной характеристики электрического тока служат две основные величины: плотность тока и сила тока.

Плотность тока равна заряду, проходящему в единицу времени через единицу поверхности, которая перпендикулярна к линиям тока. Пусть в единице объема содержится положительных носителей тока и отрицательных.

Алгебраическая величина зарядов носителей тока равна, соответственно, и . Если под действием поля носители тока приобретают средние скорости движения и , то за единицу времени через единичную площадку пройдет положительных носителей тока, которые перенесут заряд . Аналогично отрицательные носители перенесут в противоположную сторону заряд . Таким образом, для плотности тока получается следующее выражение:

.

Или в векторном виде вектор плотности тока j определяется следующим образом

.

Если в поперечном сечении проводника выделить бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную вектору плотности тока j, то заряд dq, проходящий через нее за время dt, равен

.

Сила тока в проводнике равна заряду, проходящему в единицу времени через полное сечение проводника. Если заряд dq, проходящий через сечение проводника за время dt, то

.

Сила тока скалярная величина. Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно выразить через него и силу тока

.

Размерность силы тока — ампер (А), единица измерения плотности тока — ампер на метр квадратный (). Если сила тока не меняется во времени, то ток, протекающий в проводнике, называют постоянным. Силу постоянного тока будем обозначать буквой I.

Рассмотрим среду, в которой течет ток, и выделим в ней замкнутую поверхность S (рис. 4.1). Для тока, выходящего в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S, имеем


В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в данном объеме

.
Это соотношение называют уравнением непрерывности. Учитывая, что заряд

,

получим . Преобразовав левую часть равенства по теореме о дивергенции (теореме Гаусса — Остроградского), находим

.

Таким образом в каждой точке пространства выполняется условие

,

которое является дифференциальной формой уравнения непрерывности.

Если токи постоянны, то все электрические величины не зависят от времени и в уравнении непрерывности нужно положить равным нулю. Тогда , следовательно, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, т. е. они замкнуты.

1) Что называется силой тока, плотностью тока, каковы их единицы измерения
2) Покажите, что в однородном проводнике при протекании по нему постоянного тока объемная плотность зарядов равна нулю. Какие заряды создают поле внутри проводника.
3) Может ли стационарная плотность тока j в однородном изотропном проводнике выражаться формулой , где а — константа,а x, y — декартовы координаты

Источник