Меню

Вычислить циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контура охватывающего токи

Следовательно, искомая напряженность будет равна

Направление вектора H находят по правилу буравчика. Располагают его жало вдоль проводника. Вращение рукоятки должно вызвать перемещение буравчика в направлении протекания тока. Направление вращения концов рукоятки совпадает с направлением вектора напряженности в данной точке (Рис.4).

H найдем интегрированием выражения (9) вдоль кон­тура.

где L — длина контура. Так как контур — окружность, то . Тогда для H получим

Важной характеристикой поля является цир­куляция вектора, представляющего собой силовую ха­рактеристику поля. Циркуляцией вектора по кон­туру L называют интеграл

Вычислим циркуляцию напряженности маг­нитного поля, созданного прямым проводником с то­ком, по контуру L (рис.4). Контур лежит в плоскости перпендикулярной проводнику и охватывает этот проводник. Вид на рассмат­риваемый контур представлен на рис. 6б.

Согласно формуле (6) лежит в плоскости контура и для скалярного произведения на ( -вектор перемещения вдоль контура), в соответствии с рис.6б, имеем . Напряженность поля H, созданного в данной точке пространства бесконечным прямым про­водником с током I равна.

Согласно рис. 6б , так как в случае ма­лости , dL можно рассматривать как гипотенузу, а dr как катет прямоугольного треугольника. В этом приближении (ма­лость угла ) dr является дугой окружности радиуса r, на которую опирается центральный угол и, следова­тельно, .

С учетом сказанного, для получим

и циркуляция вектора вдоль замкнутого контура, охватывающего проводник с током, будет равна (12)

так как, при движении вдоль контура, радиус-вектор совершит полный оборот, и приращение угла будет равно 2 . Если контур не охватывает про­водник с током, то приращение угла j равно , так как при движе­нии из точки 1 в точку 2 по части контура 1 имеем положительное при­ращение угла (рис.7), а при движении из точки 2 в точку 1 по части контура II отрицательное. В резуль­тате в сумме получим . Выражение (12) получено нами в предположении, что контур ле­жит в плоскости, перпендикуля­рной проводнику с током, а про­водник прямой. Однако можно по­казать, что оно справедливо при произвольной ориентации контура от­носительно проводни­ка и произвольной форме про­водника. Если контур охватыва­ет несколько проводников с током, то под I следует пони­мать алгебраическую сумму токов всех проводников, охватываемых контуром. При этом ток счита­ется положительным, если вектор , созданного им поля, совпа­дает с направлением обхода контура и отрицательным в противном случае.

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна полной силе тока, протекающего сквозь поверхность, ограниченную рассматриваемым контуром(закон Полного тока). Силовые поля, для которых циркуляция силовой характеристики поля отлична от нуля, называют вихревыми. Магнитное поле, в отличие от электростатического, является вихревым.

В ряде случаев выражение (12) удобно использовать для расчета характеристик полей проводников сложной конфигурации. Применим формулу (12) для нахождения напряженности поля тороидальной катушки (рис.8). Из соображений симметрии следует, что напряженность поля одинакова во всех точках окружности, центр которой совпадает с центром тороида. Выберем такую окружность в качестве контура интегрирования.

Очевидно, что и, так как H=const , вдоль выбранного контура, то

Полный ток через площадь, ограниченную контуром, очевидно, будет равен NI, где N – число витков тороидальной катушки. Следовательно , откуда

Поле тороида неоднородно. У внутренней границы его напряженность , а у внешней . Их относительная разность равна . Устремим радиус тороидальной катушки в бесконечность. В этом случае стремится к нулю и . Следовательно, поле такой катушки будет однородным. Отрезок окружности очень большого радиуса можно рассматривать как отрезок прямой, следовательно, любой отрезок тороида в случае, когда r стремится к бесконечности, можно рассматривать как прямую катушку. Такую катушку называют соленоидом. В формуле (13) — длина тороидальной катушки, отношение же ) = n это число витков, приходящееся на единицу длины. Следовательно, соленоид создает однородное магнитное поле, напряженность которого равна

Мы рассмотрели поля, создаваемые проводниками и контурами различной формы. Вернемся к рассмотрению вопроса о силовом действии магнитного поля на элемент тока в этом поле.

Согласно формуле (1) на элемент тока в магнитном поле с индукцией действует сила , которую называют силой Ампера. По сути своей это результирующая сил действующих со стороны магнитного поля на движущиеся в проводнике носители зарядов. Получим из формулы (1) выражение для силы, действующей на движущуюся заряженную частицу. Для этого представим в следующем виде:

Здесь — плотность тока, а S – площадь поперечного сечения проводника. Считаем, что во всех точках сечения проводника одинакова.

Плотность тока находится по формуле:

где V– средняя скорость направленного движения носителей зарядов в проводнике, n – их плотность, q – заряд носителя.

Подставим (16) в формулу (1) для силы, получим

Но — полное число носителей зарядов в рассматриваемом элементе проводника dL . Следовательно, сила , действующая на носитель заряда,движущийся в проводнике, будет равна . (18)

Эта сила носит название силы Лоренца. Мы получили выражение для нее в предположении, что заряженные частицы (носители зарядов) движутся в проводнике. Очевидно, что для проявления действия этой силы на движущуюся заряженную частицу наличие проводника необязательно. Сила действует на любую заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле в направлении, отличном от направления вектора .

Рассмотрим поведение замкнутого контура с током в однородном магнитном поле (рис. 9а). Контур представляет собой прямоугольную рамку. (Рис. 9б вид на контур сверху). На рис.9 — единичный вектор к плоскости контура. Направление его выбираем так, чтобы из конца вектора мы видели ток, текущим против часовой стрелки. Силы , действующие на стороны a контура, равны по величине и противоположно направлены. Они могут вызвать только деформацию контура. Силы образуют пару сил, вызывающих вращение контура вокруг некоторой оси. Они стремятся развернуть контур так, чтобы плоскость его стала перпендикулярно к вектору . Вращающий момент пары направлен по оси вращения, а величина его равна

Так как согласно (1) , то

Здесь учтено, что площадь S , ограниченная контуром, равна .

В соответствии со схемой рис.9а это выражение можно представить в векторном виде.

Вводя в рассмотрение вектор для , получим . (19)

Вектор называют магнитным моментом контура с током. Направление его определяют по правилу буравчика. Вращают рукоятку буравчика по направлению протекания тока в контуре. Направление перемещения буравчика при вращении определит направление вектора к плоскости, ограниченной контуром.

Мы получили выражение для в случае прямоугольного контура. В действительности эта формула справедлива для контуров с током произвольной формы. Таким образом, на контур с током в магнитном поле действует вращающий момент, стремящийся развернуть его таким образом, чтобы вектор магнитного момента контура совпал по направлению с вектором . Ориентирующее действие магнитного поля на контур с током позволяет использовать его для нахождения направления вектора в данной точке пространства. Все сказанное справедливо не только для контуров с током, но и для постоянных магнитов, которым также можно приписать некоторый магнитный момент. Ориентирующее действие магнитного поля Земли на магнитную стрелку использовано в данной работе для нахождения горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли.

Земля имеет магнитное поле. Вектор напряженности этого поля в любой точке пространства может быть разложен на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис.10). На горизонтально расположенную стрелку с магнитным моментом в магнитном поле Земли действует вращающий момент

Читайте также:  Как будто бьет током симптомы

где — горизонтальная составляющая вектора магнитной индукции магнитного поля Земли (для воздуха ).

Магнитная стрелка поворачивается в магнитном поле Земли до тех пор, пока ее направление не совпадет с направлением .

Тангенс-гальванометром называют круговой проводник, в центре которого расположена магнитная стрелка. Расположим тангенс-гальванометр так, чтобы плоскость витка совпадала с направлением стрелки, и подключим его к источнику тока. Стрелка будет находиться не только в магнитном поле Земли, но и в поле кругового тока, и установится в направлении вектора (рис.11). Так как перпендикулярен , то

С учетом формул (4) и (11) индукция магнитного поля в центре N витков кругового тока радиусом R равна (22)

Тогда для горизонтальной составляющей вектора индукции и напряженности магнитного поля Земли соответственно имеем

Измерив силу тока I и угол отклонения магнитной стрелки и зная число и радиус витков кругового тока, можно экспериментально определить горизонтальную составляющую индукции и напряженности магнитного поля Земли. Если же известно из предыдущих измерений значение горизонтальной составляющей H или B магнитного поля Земли, то, определив экспериментально угол отклонения магнитной стрелки, при помощи описанного устройства можно оценить величину тока

которая прямо пропорциональна тангенсу угла отклонения магнитной стрелки. Отсюда и происходит название используемого в работе прибора «тангенс-гальванометр». Коэффициент пропорциональности перед tg в формуле (25) называют постоянной тангенс-гальванометра

Описание установки.

Для выполнения работы собрать электрическую цепь из источника тока, потенциометра, переключателя на два положения, амперметра и тангенс-гальванометра в соответствии с рис.12. Переключатель в данной работе позволяет изменять направление тока в витках. Число витков и радиус витков приведены в надписях к прибору.

Порядок выполнения работы:

1. Установить тангенс-гальванометр так, чтобы его магнитная стрелка оказалась в плоскости круговых витков.

2. Собрать электрическую цепь в соответствии с рис.12. Движок реостата установить в положение а.

3. Изменяя величину тока при помощи потенциометра, определить углы отклонения магнитной стрелки от первоначального положения при 5 значениях силы тока (указываются преподавателем). Изменить положение переключателя и повторить измерения.

4. Результаты измерений записать в таблицу и вычислить и по формулам (23) и (24) для каждого значения силы тока, используя средние значения углов отклонения.

5. Вычислить постоянную тангенс-гальванометра по формуле (26), взяв среднее значение .

6. Вычислить абсолютную ошибку для каждого из измерений по формуле

и результаты занести в таблицу.

7. Вычислить средние значения

№№ п/п Величина тока I,А Угол отклонения в градусах tg a Hг, А/м г, А/м Вг=mНг, Тл
Вправо Влево Средний
Средние значения

Для получения зачета изучить следующие теоретические вопросы:

1.Понятие о магнитном поле.

2.Магнитный момент контура с током.

3.Поведение контура с током в магнитном поле.

4.Силовые характеристики магнитного поля. Магнитная проницаемость среды.

7. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции полей.

8.Закон полного тока.

9.Напряженность и индукция магнитного поля прямого тока и в центре кругового тока.

10.Магнитное поле тороида и соленоида.

1. И.В.Савельев. Курс общей физики, т.2, п.п. 39-41, 1977.

2. И.В.Савельев. Курс общей физики, т.2,п.п.40,42-44, 1982.

3. Г.А.Зисман, О.М.Тодес. Курс общей физики, т.2, п.п.29,32, 1974.

4. В.М.Яворский, А.А.Детлаф, Л.Б.Милковская. Курс физики, т.2, гл.14.1, 14.2, 15.1, 15.2, 15.4, 15.5, 1977.

Источник

Магнитное поле: Краткая теория и образцы решений некоторых задач , страница 2

Подставляя числовые данные задачи, получим:

В = 23,14 · 10 -7 = 25мкТл.

Ответ: В = 25 мкТл.

2. МАГНИТНЫЙ ПОТОК, ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЕ.

ТЕОРЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА В

Поток магнитной индукции Фм через некоторую поверхность S

Фм = ∫(В dS) = B dS cosα = ∫BndS , (3.2.1)

где круглые скобки означают скалярное произведение векторов; α – угол между нормалью n к площадке и направлением магнитной индукции В; Вn — проекция магнитной индукции на нормаль; dS = n·dS. В случае однородного магнитного поля и плоской поверхности S

Единица измерения магнитного потока в СИ – вебер (Вб), 1 Вб = 1 Тл ·1м 2 .

Пример. Виток радиусом 2 см расположен в однородном магнитном поле с индукцией В = 2 мТл так, что его плоскость составляет 30 0 с силовыми линиями. Найти магнитный поток через виток.

Решение. Используем формулу (3.2.1 ΄ ), подставив в нее площадь круга. Угол α в данном случае равен 60 0 . А не 30 0 (обратите внимание на распространенную ошибку), что видно из рис. 7. Посмотрите еще раз пояснение к формуле. Таким образом, магнитный поток

Ф = 2 · 10 -3 Тл 3,14 · 4 · 10 -4 м = 2,5мкВб.

Ответ: Ф = 2,5 мкВб.

Так как линии вектора В всегда замкнуты, то число линий, выходящих из объема V, равно количеству линий, входящих в него. Поэтому поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю:

В этом состоит смысл теоремы Гаусса для магнитного поля.

Если контур состоит из N витков, каждый из которых пронизывается магнитным потоком Ф, алгебраическая сумма потоков

Величина Ψ называется потокосцеплением или полным магнитным потоком, измеряется так же, как и магнитный поток, в веберах.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции утверждает, что циркуляция вектора В вдоль замкнутого контура в отсутствие переменных электрических полей равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром:

Значение силы тока берут со знаком «плюс», если направление тока и направление обхода контура составляет правовинтовую систему, и со знаком « минус», если левовинтовую. Выбор направления обхода произволен. Если ток охватывает контур N раз, то это обстоятельство учитывают произведением NI.

Пример. На рис.8 изображен произвольный контур, охватывающий несколько проводников с токами. Токи равны: I1 = 1 A; I2 = 2 A; I3 = 1,5 A. Найти циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль этого контура.

Решение. Согласно формуле (3.2.3). циркуляция вектора В имеет вид

Проведем операции с размерностями и покажем, что циркуляция измеряется в Тл·м:

Ниже будет показано, что произведение индуктивности и тока дает потокосцепление (L·I = Ψ), отсюда Гн·А = Вб.

Ответ: циркуляция вектора В равна 25,12·10 -7 Тл·м.

Из формулы (3.2.3), как следствие, вытекает формула для расчета магнитной индукции поля на оси бесконечно длинного соленоида в его середине:

где N – общее число соленоида; l – его длина ; n = N /l– число витков на единицу длины, μ – магнитная проницаемость сердечника, (если сердечника нет или он немагнитный, то μ =1).

3. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖУЩИЕСЯ

ЗАРЯДЫ И ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ. РАБОТА СИЛ ПОЛЯ

Рассмотрим последовательно, как магнитное поле действует сначала на движущиеся заряды, затем на проводники с токами, в том числе и на рамку с током. В общем случае электромагнитное поле характеризуется векторами Е(r,t) – напряженностью электрического поля и В(r,t) – магнитной индукцией. Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле,

F = q E + q [ v,B], (3.3.1)

называется силой Лоренца. Квадратные скобки означают векторное произведение двух векторов v и B.

Читайте также:  В опыте при замыкании ключа сила тока протекающего через катушку

Выражение (3.3.1) справедливо как для постоянных, так и переменных электромагнитных полей. С магнитным полем связана та часть силы, которая проявляется только при движении заряда (см. второе слагаемое в выражении (3.3.1)), т.е.

в скалярной форме:

Направление силы Лоренца можно определить по правилу векторного произведения, которому соответствует мнемоническое правило правой тройки: большой , указательный и средней пальцы правой руки надо расположить перпендикулярно друг другу; если направить большой палец по вектору v для положительного заряда (для отрицательного против v), указательный по вектору В, то средний палец покажет направление магнитной составляющей силы Лоренца Fm. Есть и другой способ — мнемоническое правило левой руки. Для q > 0 левую руку надо расположить так, чтобы линии вектора В входили в ладонь, четыре пальца направить по направлению вектора v(рис. 9). Тогда большой палец укажет направление силы Лоренца. Если q 2 3 4 5 6 7

Источник

Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля с решением

Продолжаем разбираться с задачами по физике. На этот раз рассмотрим примеры решения задач на тему «Циркуляция магнитного поля».

Заходите в наш телеграм – там найдутся интересные новости и лайфхаки для каждого студента. А еще, у нас есть канал со скидками и акциями, не упустите выгоду!

Теорема о циркуляции магнитного поля, задачи

Прежде, чем мы начнем разбирать примеры решений, напомним про полезные формулы и универсальную памятку по физическим задачам. И обязательно почитайте теорию по теме!

Задача №1 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Соленоид длиной l=0,5 м содержит N= 1000 витков. Определить магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если сопротевление его обмоток =120 Ом , а напряжение на ее концах U= 60В.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитного поля:

∮ B d l = μ 0 ∑ i I i B l = μ 0 I N

Отсюда запишем соотношение для магнитной индукции:

B = μ 0 U N R l = 1 , 25 · 10 — 6 · 60 · 1000 120 · 0 , 5 = 1 , 25 · 10 — 6 Т л

Задача №2 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника. Тороид содержит N=200 витков, а по его обмотке протекает ток 2 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний – 40 см.

Решение

Тороид – это катушка, которая имеет замкнутый сердечник в форме кольца или тора.

Вычислим циркуляцию вектора B по осевой линии:

∮ B d l = μ 0 ∑ I i B · 2 π r = μ 0 N I

Здесь r – разность между внешним и внутренним диаметром катушки. Из формулы выше можно выразить индукцию:

B = μ 0 N I 2 π D 1 — D 2

Чтобы найти напряженность, нужно разделить магнитную индукцию на магнитную постоянную:

Подставим значения и рассчитаем:

B = 1 , 25 · 10 — 6 · 200 · 2 2 π · 0 , 6 — 0 , 4 = 0 , 39 м Т л

H = 0 , 39 · 10 — 3 1 , 25 · 10 — 6 = 312 А м

Ответ: 0,39 мТл, 312 А/м

Задача №3 на циркуляцию магнитного поля

Условие

По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I=10 А. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, определите В в точке, расположенной на расстоянии r=10 см от проводника.

Решение

Запишем теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:

∮ B d l = μ 0 ∑ i I

В данном случае контуром можно выбрать окружность радиуса r, которая лежит в плоскости, перперникулярной проводнику. Проводник находится в центре окружности. Вектор B направлен по касательной, а его модуль одинаков по всей окружности. Теорема о циркуляции примет вид:

B · 2 πr = μ 0 I B = μ 0 I 2 πr = 1 , 25 · 10 — 6 · 10 2 · 3 , 14 · 0 , 1 = 19 , 9 мкТл

Ответ: 19,9 мкТл.

Задача №4 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окружности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости проходит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I = 5 А.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитной индукции, циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную:

∮ B d l = μ 0 ∑ i I ∮ B d l = μ 0 I = 1 , 25 · 10 — 6 · 5 = 6 , 25 м к Т л · м

Ответ: 6,25 мкТл*м.

Задача №5 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура L, если I1=4 A, I2=1 A, I3=9 A, I4=1 A?

Решение

Согласно теореме, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур.

Из рисунка видно, что четвертый ток не влияет на циркуляцию. С учетом направлений токов, запишем:

∮ B d l = I 1 — I 2 + I 3 = 4 — 1 + 9 = 12 А

Ответ: 12 А

Вопросы на тему «Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции»

Вопрос 1. Что такое циркуляция векторного поля?

Ответ. В общем случае, циркуляция векторного поля по какому-то контуру – это скалярная величина, равная криволинейному интегралу второго рода по данному контуру.

Вопрос 2. Как звучит терема о циркуляции магнитной индукции?

Ответ.

Циркуляция вектора магнитной индукции магнитного поля равна магнитной постоянной, умноженной на алгебраическую сумму токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция.

Вопрос 3. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция – векторная физическая величина, силовая характеритика магнитного поля. Магнитная индукция определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем с определенной скоростью. Измеряется в Теслах.

Вопрос 4. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность магнитного поля – векторная физическая величина, численно равная:

H = B μ 0

Напряженность равна разности векторов магнитной индукции и намагниченности среды.

Напряженность в вакууме совпадает с магнитной индукцией.

Вопрос 5. Справедлива ли теорема о циркуляции для напряженности поля?

Ответ. Да, справедлива.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром.

Если у вас не получается быстро решать задачи, не отчаивайтесь! Профессиональный сервис для учащихся поможет ускорить процесс выполнения любого задания: от контрольной до диплома.

  • Контрольная работа от 1 дня / от 100 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 7950 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа 5 дней / от 1800 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 700 р. Узнать стоимость

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Магнитное поле: Краткая теория и образцы решений некоторых задач , страница 2

Подставляя числовые данные задачи, получим:

В = 23,14 · 10 -7 = 25мкТл.

Ответ: В = 25 мкТл.

2. МАГНИТНЫЙ ПОТОК, ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЕ.

ТЕОРЕМА ГАУССА И ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА В

Поток магнитной индукции Фм через некоторую поверхность S

Фм = ∫(В dS) = B dS cosα = ∫BndS , (3.2.1)

где круглые скобки означают скалярное произведение векторов; α – угол между нормалью n к площадке и направлением магнитной индукции В; Вn — проекция магнитной индукции на нормаль; dS = n·dS. В случае однородного магнитного поля и плоской поверхности S

Единица измерения магнитного потока в СИ – вебер (Вб), 1 Вб = 1 Тл ·1м 2 .

Читайте также:  Источник тока для плазменной резки

Пример. Виток радиусом 2 см расположен в однородном магнитном поле с индукцией В = 2 мТл так, что его плоскость составляет 30 0 с силовыми линиями. Найти магнитный поток через виток.

Решение. Используем формулу (3.2.1 ΄ ), подставив в нее площадь круга. Угол α в данном случае равен 60 0 . А не 30 0 (обратите внимание на распространенную ошибку), что видно из рис. 7. Посмотрите еще раз пояснение к формуле. Таким образом, магнитный поток

Ф = 2 · 10 -3 Тл 3,14 · 4 · 10 -4 м = 2,5мкВб.

Ответ: Ф = 2,5 мкВб.

Так как линии вектора В всегда замкнуты, то число линий, выходящих из объема V, равно количеству линий, входящих в него. Поэтому поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю:

В этом состоит смысл теоремы Гаусса для магнитного поля.

Если контур состоит из N витков, каждый из которых пронизывается магнитным потоком Ф, алгебраическая сумма потоков

Величина Ψ называется потокосцеплением или полным магнитным потоком, измеряется так же, как и магнитный поток, в веберах.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции утверждает, что циркуляция вектора В вдоль замкнутого контура в отсутствие переменных электрических полей равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром:

Значение силы тока берут со знаком «плюс», если направление тока и направление обхода контура составляет правовинтовую систему, и со знаком « минус», если левовинтовую. Выбор направления обхода произволен. Если ток охватывает контур N раз, то это обстоятельство учитывают произведением NI.

Пример. На рис.8 изображен произвольный контур, охватывающий несколько проводников с токами. Токи равны: I1 = 1 A; I2 = 2 A; I3 = 1,5 A. Найти циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль этого контура.

Решение. Согласно формуле (3.2.3). циркуляция вектора В имеет вид

Проведем операции с размерностями и покажем, что циркуляция измеряется в Тл·м:

Ниже будет показано, что произведение индуктивности и тока дает потокосцепление (L·I = Ψ), отсюда Гн·А = Вб.

Ответ: циркуляция вектора В равна 25,12·10 -7 Тл·м.

Из формулы (3.2.3), как следствие, вытекает формула для расчета магнитной индукции поля на оси бесконечно длинного соленоида в его середине:

где N – общее число соленоида; l – его длина ; n = N /l– число витков на единицу длины, μ – магнитная проницаемость сердечника, (если сердечника нет или он немагнитный, то μ =1).

3. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖУЩИЕСЯ

ЗАРЯДЫ И ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ. РАБОТА СИЛ ПОЛЯ

Рассмотрим последовательно, как магнитное поле действует сначала на движущиеся заряды, затем на проводники с токами, в том числе и на рамку с током. В общем случае электромагнитное поле характеризуется векторами Е(r,t) – напряженностью электрического поля и В(r,t) – магнитной индукцией. Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле,

F = q E + q [ v,B], (3.3.1)

называется силой Лоренца. Квадратные скобки означают векторное произведение двух векторов v и B.

Выражение (3.3.1) справедливо как для постоянных, так и переменных электромагнитных полей. С магнитным полем связана та часть силы, которая проявляется только при движении заряда (см. второе слагаемое в выражении (3.3.1)), т.е.

в скалярной форме:

Направление силы Лоренца можно определить по правилу векторного произведения, которому соответствует мнемоническое правило правой тройки: большой , указательный и средней пальцы правой руки надо расположить перпендикулярно друг другу; если направить большой палец по вектору v для положительного заряда (для отрицательного против v), указательный по вектору В, то средний палец покажет направление магнитной составляющей силы Лоренца Fm. Есть и другой способ — мнемоническое правило левой руки. Для q > 0 левую руку надо расположить так, чтобы линии вектора В входили в ладонь, четыре пальца направить по направлению вектора v(рис. 9). Тогда большой палец укажет направление силы Лоренца. Если q 2 3 4 5 6 7

Источник



Циркуляция вектора индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур.

В виде формулы теорема записывается следующим образом:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;M_0\sum_^n\;=\;M_0I\)

В данном случае I будет означать полный ток .

Теорема используется для того, чтобы облегчить вычисление индукции магнитного поля, созданного совокупностью токов, текущих по проводам. Упрощение достигается с учетом симметрии и конфигурации токов. К примеру, с применением этой теоремы возможен расчет магнитной индукции для проводников с высокой степенью симметрии.

Взглянем на циркуляцию вектора \(\overrightarrow B\) . Предположим, что условный замкнутый контур находится в пространстве с магнитным полем, а также предположим направление его обхода. В таком случае, касательная составляющая \(B_l\) вектора \(\overrightarrow B\) определяется на каждом отдельно взятом маленьком участке \(\triangle l \) этого контура. Иными словами определяется проекция вектора \(\overrightarrow B\) на направление касательной к определенному участку контура.

Циркуляцией вектора \(\overrightarrow B\) является сумма произведений \(B_l\) и \(\triangle l\) , которая взята по целому контуру L: \(\overrightarrow B = \textstyle\sum_ <(L)>B_l \triangle l.\)

Исходя из этого, можно сформулировать следующее: принимая во внимание теорему о циркуляции, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) магнитного поля постоянных токов по каждому из контуров L в любой момент времени рассчитывается как произведение магнитной постоянной \(\mu_0\) на сумму всех токов:

Вывод из теоремы: так как циркуляция индукции магнитного поля не равняется нулю, магнитное поле прямолинейного тока не будет являться потенциальным.

\(\oint\limits_L\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;\neq0\) , где \(\overrightarrow B\) обозначает вектор магнитной индукции, а dl является элементом произвольного контура L.

Чему равна циркуляция, закон Био–Савара

Циркуляция вектора \( \overrightarrow B\) прямолинейного тока вдоль замкнутого контура, который не охватывает этот проводник, равняется нулю. В случае, когда несколько токов оказываются охваченными контуром, циркуляция вектора \(\overrightarrow B\) равняется их алгебраической сумме:

\(\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i\)

Закон Био-Савара определяет вклад \(\triangle\overrightarrow B\) в магнитную индукцию \(\overrightarrow B\) результативного магнитного поля, образуемого маленьким участком \(\triangle l \) проводника с током I.

В данном случае r является расстоянием от заданного участка \(\triangle l\) до точки наблюдения, \(\alpha\) обозначает угол между направлением на точку наблюдение и направлением тока на определенном участке, а \(\mu_0\) является магнитной постоянной.

Благодаря закону Био-Савара можно определить магнитные поля током с различными конфигурациями и вычислить магнитное поле в центре кругового витка с током.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

Предположим, что S — это поверхность, охватываемая контуром L. Правило правого винта будет связывать проложенную к поверхности нормаль и направление обхода контура L. В таком случае определить силу тока, текущего через поверхность S, можно с помощью следующей формулы:

\(I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

В этой формуле \(\overrightarrow j\) будет обозначать объемную плотность тока.

Исходя из этого, используем следующее написание формулы:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S\)

Теперь образуем ротор вектора \(rot\overrightarrow B\) , основываясь на теореме Стокса, уточним, что:

Тогда формула примет вид:

\(\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S\)

Теперь можно записать теорему о циркуляции в дифференциальной форме:

\(rot\overrightarrow B\;=\;\frac<4\pi>c\overrightarrow j\)

Источник