Меню

Закон непрерывности тока в дифференциальной форме

Закон непрерывности тока в дифференциальной форме

Электрическим током называется любое упорядоченное движение электрических зарядов. Как правило, при этом имеется в виду движение зарядов в некоторой среде, именуемой проводником. С точки зрения технических приложений это, пожалуй, наиболее важный случай. Возможны, однако, и другие виды электрического тока, например пучок заряженных частиц в вакууме (см. § 27).

В отсутствие электрического поля электроны в проводнике движутся хаотически, так что их средняя скорость Здесь черта означает усреднение по времени для одного электрона, а скобки — усреднение по многим электронам в определенный момент времени.

Интересне отметить, что в металлах скорость хаотического движения электронов весьма велика и составляет см/с даже вблизи абсолютного нуля температуры. Это чисто квантовый

эффект — той же природы, что и движение электронов в атомах и молекулах. Нагревание металла лишь незначительно увеличивает эту скорость, даже при температуре испарения металла.

Электрическое поле ускоряет электроны, так что появляется некоторое упорядоченное движение, т. е. электрический ток, который можно охарактеризовать количеством заряда, проходящим через некоторую поверхность в единицу времени. Эта величина называется силой тока и измеряется в амперах (СИ). В гауссовой системе , что приблизительно соответствует потоку в электронов в секунду.

Другой характеристикой является плотность тока

где — плотность заряда, — плотность электронов. В дальнейшем мы опускаем знак усреднения.

В обычных условиях средняя скорость электронов очень мала. Так, например, при плотности тока в медном проводнике эта скорость составляет всего около 5 см в сутки Подчеркнем, что сама по себе эта скорость никак не сказывается на обычных электрических процессах. Ее можно было бы, в принципе, наблюдать лишь в специальных очень тонких экспериментах типа закручивания кольца при возбуждении в нем тока. Если же напряжение подается на обычную электрическую цепь, ток возникает практически одновременно во всех участках цепи.

Полный ток через поверхность связан с плотностью тока интегралом:

Рассмотрим баланс электрического заряда в проводящей среде при протекании тока. Выделим мысленно некоторый объем проводника V, ограниченный замкнутой поверхностью Пусть в этом объеме находится заряд Его изменение определяется током через поверхность:

Знаки выбраны так, что положительный ток «вытекает» из объема и заряд уменьшается Частная производная означает, что имеется в виду локальное (в данной точке проводника) изменение плотности заряда. Правую часть равенства можно преобразовать, используя теорему Остроградского — Гаусса (см. § 6): Так как равенство (20.3) справедливо для любого объема, должны быть равны и подынтегральные выражения:

Это соотношение носит название уравнения непрерывности. Оно описывает закон сохранения электрического зряда для непрерывного распределения заряда и тока. Уравнение (20.4) называется локальным законом сохранения, а ( -интегральным.

Справедливость уравнения непрерывности вытекает в конечном счете из всей совокупности современных экспериментальных данных. В обычных условиях протекания тока закон сохранения заряда сводится просто к неизменности электрического заряда каждой элементарной частицы. При этом, разумеется, число частиц также остается постоянным. В данном случае уравнение непрерывности означает баланс частиц и может быть записано с помощью чисто механических величин:

В релятивистской области удобно пользоваться четырехмерным вектором ( -вектором) тока. Определим его соотношением

где — компоненты 4-скорости, — инвариантное время Величина будет 4-вектором, если — инвариант (скаляр). Выберем в качестве инвариантную плотность заряда, т. е. плотность заряда в собственной системе частиц, где их средняя скорость равна нулю. В нерелятивистском случае определение (20.6) совпадает с (20.1), причем четвертая компонента 4-тока оказывается пропорциональной плотности заряда. В релятивистском случае

где — обычная плотность заряда в системе отсчета, относительно которой частицы движутся со скоростью Связь получается по аналогии с поскольку как и является четвертой компонентой 4-вектора. Квадрат модуля 4-вектора тока равен — так как 4-вектор тока, как и 4-скорость, является времениподобным вектором.

Соотношение (20.7) показывает, что первоначальное нерелятивистское определение плотности тока (20.1) сохраняется и в общем случае.

Подчеркнем, что все понятия и соотношения этого параграфа справедливы для любого вида электрического тока, поскольку они описывают его «кинематику».

Источник

Закон непрерывности тока в дифференциальной форме

Если через некоторую поверхность переносится суммарный заряд, отличный от нуля, то говорят, что через эту поверхность течет электрический ток. Ток может протекать в твердых телах, в жидкостях и в газах. Для протекания тока необходимо наличие в данном теле (или в данной среде) заряженных частиц, которые могут перемещаться в пределах всего тела. Такие частицы называются носителями тока. Ими могут быть электроны, ионы либо макроскопические частицы (например, заряженные пылинки, капельки), несущие избыточный заряд.

Читайте также:  Как находят мощность переменного тока

Направлением тока условились считать направление движения положительно заряженных частиц. Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, названы линиями тока. Для количественной характеристики электрического тока служат две основные величины: плотность тока и сила тока.

Плотность тока равна заряду, проходящему в единицу времени через единицу поверхности, которая перпендикулярна к линиям тока. Пусть в единице объема содержится положительных носителей тока и отрицательных.

Алгебраическая величина зарядов носителей тока равна, соответственно, и . Если под действием поля носители тока приобретают средние скорости движения и , то за единицу времени через единичную площадку пройдет положительных носителей тока, которые перенесут заряд . Аналогично отрицательные носители перенесут в противоположную сторону заряд . Таким образом, для плотности тока получается следующее выражение:

.

Или в векторном виде вектор плотности тока j определяется следующим образом

.

Если в поперечном сечении проводника выделить бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную вектору плотности тока j, то заряд dq, проходящий через нее за время dt, равен

.

Сила тока в проводнике равна заряду, проходящему в единицу времени через полное сечение проводника. Если заряд dq, проходящий через сечение проводника за время dt, то

.

Сила тока скалярная величина. Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно выразить через него и силу тока

.

Размерность силы тока — ампер (А), единица измерения плотности тока — ампер на метр квадратный (). Если сила тока не меняется во времени, то ток, протекающий в проводнике, называют постоянным. Силу постоянного тока будем обозначать буквой I.

Рассмотрим среду, в которой течет ток, и выделим в ней замкнутую поверхность S (рис. 4.1). Для тока, выходящего в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S, имеем


В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в данном объеме

.
Это соотношение называют уравнением непрерывности. Учитывая, что заряд

,

получим . Преобразовав левую часть равенства по теореме о дивергенции (теореме Гаусса — Остроградского), находим

.

Таким образом в каждой точке пространства выполняется условие

,

которое является дифференциальной формой уравнения непрерывности.

Если токи постоянны, то все электрические величины не зависят от времени и в уравнении непрерывности нужно положить равным нулю. Тогда , следовательно, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, т. е. они замкнуты.

1) Что называется силой тока, плотностью тока, каковы их единицы измерения
2) Покажите, что в однородном проводнике при протекании по нему постоянного тока объемная плотность зарядов равна нулю. Какие заряды создают поле внутри проводника.
3) Может ли стационарная плотность тока j в однородном изотропном проводнике выражаться формулой , где а — константа,а x, y — декартовы координаты

Источник

Уравнение неразрывности для носителей заряда в проводнике. Дифференциальная форма условия существования постоянного электрического тока

Рассмотрим некоторую воображаемую замкнутую поверхность S, выделенную в среде, в которой проходит ток (рис. 4.14,6). Тогда величина jndS представляет собой ток, проходящий через поверхность S, т. е. заряд, выходящий в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S. Это приводит к уменьшению заряда q = ρ(x, y, z, t)dV, который содержится в выделенном объеме V. С учетом закона сохранения заряда в случае неподвижной поверхности S запишем:dq / dt = – jndS => jndS = – ∂ρdV / ∂t. (4.43).Воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса (приняв A ≡ j, см. табл. II.5 прил. II): jndS = divjdV и преобразуем левую часть уравнения (4.43): divjdV = – ∂ρdV / ∂t => (div j + ∂ρ / ∂t) dV = 0. (4.44).Очевидно, что интеграл (4.44) может быть равен нулю при произвольном объеме V только в том случае, если подынтегральная функция равна нулю: div j + ∂ρ / ∂t = 0 => div j = –∂ρ / ∂t — уравнение неразрывности для электрического тока. (4.45)

Полученное уравнение выражает закон сохранения заряда. В случае постоянного тока плотность заряда ρ в каждой точке проводящей среды не изменяется со временем, т. е. ∂ρ / ∂t = 0. Тогда из уравнения неразрывности следует, чтоdiv j = 0 — условие существования постоянного тока. (4.46)

Сравнивая выражение (4.46) с уравнением (3.46) для магнитного поля (div B = 0), можно утверждать, что линии постоянного тока также являются замкнутыми (как и силовые линии вихревого поля магнитной индукции B).

Закон Ома для участка цепи (в интегральной и дифференциальной формах записи). Закон Ома для неоднородного участка электрической цепи. Удельная электрическая проводимость. Температурный коэффициент сопротивления.

Ом экспериментально установил закон, согласно которому: сила тока текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на проводнике

Коэффициент пропорциональности R – называется электрическим сопротивлением проводника. Единица измерения сопротивления 1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течёт ток силой в 1 А.

Читайте также:  Тгф это трансформатор тока

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого изготовлен проводник. Для однородного линейного проводника сопротивление прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади поперечного сечения: .

Коэффициент пропорциональности , характеризующий материал проводника называется удельным электрическим сопротивлением проводника. Единица измерения [Ом . м].

Проводники соединяют последовательно и параллельно.

Последовательное соединение проводников: .

Параллельное соединение проводников: .

Опытным путем установлено, что для большинства случаев изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) с температурой описывается линейным законом: или , где и , и – соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при температурах t и 0 о С, — температурный коэффициент сопротивления.

Величина, равная называется электрической проводимостью проводника. Единица измерения проводимости – сименс [См].

Определим связь между векторами плотности тока и напряжённости поля в одной и той же точке проводника. Для этого воспользуемся законом Ома: , или .

Величина называется удельной электрической проводимостью. Её единица измерения [См/м]. С учетом, что – напряжённость электрического поля, а – плотность тока, получим — закон Ома в дифференциальной форме.

От закона Ома в дифференциальной форме можно перейти к интегральной форме. Рассмотрим неоднородный участок цепи 1→2, на котором присутствуют сторонние силы. Допустим, что внутри этого участка существует линия (которую назовём контуром тока), удовлетворяющая следующим условиям:

В каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величина плотности тока, удельная электрическая проводимость, напряжённость поля сторонних сил и напряжённость поля электростатических сил имеют с достаточной точностью одинаковые значения.

Вектора плотности тока, напряжённости поля сторонних сил и электростатических сил в каждой точке направлены по касательной к контуру.

Выберем произвольное направление движения по контуру. Спроектируем векторы на элемент контура dl. Тогда . Так как , а , то получим, что или . Умножим это соотношение на dl и проинтегрируем вдоль контура: .

Величина – сопротивление участка контура длины dl, – разность потенциалов, а – ЭДС действующая на участке. Следовательно , откуда – закон Ома для неоднородного участка цепи.

Частные случаи:

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то и сила тока, протекающего по проводнику – закон Ома для участка цепи.

Если цепь замкнута, то и сила тока – закон Ома для замкнутой цепи.

Если цепь разомкнута, то и – ЭДС действующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах.

В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи и сила тока .

1. Закон Ома в дифференциальной форме. Вывод закона Ома на основе классических представлений

Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному (в смысле отсутствия сторонних сил) металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:I = U / R. (34.1)

Напомним, что в случае однородного проводника напряжение U совпадает с разностью потенциалов φ1 – φ2 (см. (33.6)).

Обозначенная в формуле (34.1) буквой R величина называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит ом, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течет ток силой 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводникаR = ρl / S, (34.2)

где l — длина проводника, S — площадь его поперечного сечения, ρ — зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества. Если l = 1 и S = 1, то R численно равно ρ. В СИ ρ измеряется в ом-метрах (Ом•м).

Найдем связь между векторами j и Е в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора Е. Поэтому направления векторов j и Е совпадают. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторами j и Е (рис. 34.1). Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой j dS. Напряжение, приложенное к цилиндру, равно Е dl, где Е — напряженность поля в данном месте. Наконец, сопротивление цилиндра, согласно формуле (34.2), равно ρ(dl/dS). Подставив эти значения в формулу (34.1), придем к соотношениюjdS = dSEdl / ρdl или j = Eρ.

Воспользовавшись тем, что векторы j и Е имеют одинаковое направление, можно написатьj = E / ρ = σE. (34.3)

Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме.

Фигурирующая в (34.3) обратная ρ величина σ называется удельной электрической проводимостью материала. Единица, обратная ому, называется Сименсом (См). Соответственно единицей σ является сименс на метр (См/м).

Закон Ома для неоднородного участка цепи

На неоднородном участке цепи на носители тока действуют, кроме электростатических сил еЕ, сторонние силы еЕ*. Сторонние силы способны вызывать упорядоченное движение носителей тока в той же мере, как и силы электростатические. В предыдущем параграфе мы выяснили, что в однородном проводнике средняя скорость упорядоченного движения носителей тока пропорциональна электростатической силе еЕ. Очевидно, что там, где, кроме электростатической силы, на носители действуют сторонние силы, средняя скорость упорядоченного движения носителей будет пропорциональна суммарной силе еЕ + еЕ*. Соответственно плотность тока в этих точках оказывается пропорциональной сумме напряженностей Е + Е*:j = σ(Е + Е*). (35.1)

Читайте также:  Сгорел от удара тока

Формула (35.1) обобщает формулу (34.3) на случай неоднородного проводника. Она выражает в дифференциальной форме закон Ома для неоднородного участка цепи.

От закона в дифференциальной форме можно перейти к интегральной форме закона Ома. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Допустим, что внутри этого участка существует линия (мы будем называть ее контуром тока), удовлетворяющая следующим условиям: 1) в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины j, σ, Е, Е* имеют с достаточной точностью одинаковые значения; 2) векторы j, E и Е* в каждой точке направлены по касательной к контуру. Поперечное сечение проводника может быть непостоянным (рис. 35.1).

Выберем произвольно направление движения по контуру. Пусть выбранное направление соответствует перемещению от конца 1 к концу 2 участка цепи (направление 1 – 2). Спроектируем векторы, входящие в соотношение (35.1), на элемент контура dl. В результате получимjl = σ(El + El*). (35.2)

В силу сделанных предположений проекция каждого из векторов равна модулю вектора, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того, как направлен вектор по отношению к dl. Например, jl = j, если ток течет в направлении 1 – 2, и jl = –j, если ток течет в направлении 2 – 1.

Вследствие сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому величина I = jlS постоянна вдоль контура. Силу тока в данном случае нужно рассматривать как алгебраическую величину. Напомним, что направление 1 – 2 мы выбрали произвольно. Поэтому, если ток течет в выбранном направлении, его следует считать положительным; если же ток течет в противоположном направлении (т. е. от конца 2 к концу 1), его силу следует считать отрицательной.

Заменим в (35.2) jl отношением I / S, а проводимость σ — удельным сопротивлением ρ. В итоге получится соотношениеIρ / S = El + El*.

Умножим это соотношение на dl и проинтегрируем вдоль контура:I ρdl / S = Eldl + El*dl.

Выражение ρ dl / S представляет собой сопротивление участка контура длины dl, а интеграл от этого выражения — сопротивление R участка цепи. Первый интеграл в правой части дает φ1 – φ2, а второй интеграл — э. д. с. ξ12, действующую на участке. Таким образом, мы приходим к формулеIR = φ1 – φ2 + ξ12. (35.3)

Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 354 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник



Закон непрерывности тока в дифференциальной форме

Представим себе, в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы принято брать наружу, поэтому интеграл дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V, охваченного поверхностью S. Мы знаем, что плотность постоянного электрического тока одинакова по всему поперечному сечению S однородного проводника. Поэтому для постоянного тока в однородном проводнике с поперечным сечением S сила тока:

Из (7.3.1) и постоянства значения I во всех участках цепи постоянного тока следует, что плотности постоянного тока в различных поперечных сечениях 1 и 2 цепи обратно пропорциональны площадям и этих сечений (рис. 7.2):

Пусть S – замкнутая поверхность, а векторы всюду проведены по внешним нормалям . Тогда поток вектора сквозь эту поверхность S равен электрическому току I, идущему вовне из области, ограниченный замкнутой поверхностью S. Следовательно, согласно закону сохранения электрического заряда, суммарный электрический заряд q, охватываемый поверхностью S, изменяется за время на , тогда в интегральной форме можно записать:

Это соотношение называется уравнением непрерывности. Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда.

Дифференциальная форма записи уравнения непрерывности записывается так:

В случае постоянного тока, распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным:

это уравнение непрерывности для постоянного тока (в интегральной форме).

Линии в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Поле вектора не имеет источника. В дифференциальной форме уравнение непрерывности для постоянного тока .

Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В самом деле, т.к. для постоянного тока справедливо уравнение , то

Избыточный заряд может появиться только на поверхности проводника в местах соприкосновения с другими проводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.

Источник