Меню

Закон полного тока максвелл

§25. Ток смещения и система уравнений Максвелла

Мы установили, что изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, которое в свою очередь порождает изменяющееся магнитное поле и т. д. В результате образуются сцепленные между собой электрическое и магнитное поля, составляющие электромагнитную волну. Она “отрывается” от зарядов и токов, которые ее породи­ли. Способ существования электромагнитной волны делает невозможным ее неподвижность в пространстве и постоянство напряженности во времени.

Постоянный ток не протекает в цепи с конденсатором, а в случае переменного напряжения в цепи ток протекает через конденсатор. Для постоянного тока конденсатор – разрыв в цепи, а для переменного этого разрыва нет. Поэтому необходимо заключить, что между обкладками конденсатора происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости. Этот процесс между обкладками конденсатора был назван током смещения. Напряженность поля между обкладками конденсатора . Из граничного условия для вектора следует, что диэлектрическое смещение между обкладками , а сила тока в цепи равна . Тогда

, (25.1)

А значит процессом, замыкающим ток проводимости в цепи, является изменение электрического смещения во времени. Плотность тока

. (25.2)

Существование тока смещения было постулировано Максвеллом в 1864 г. и затем экспериментально подтверждено другими учеными.

Почему скорость изменения вектора смещения называется плотностью тока? Само по себе математическое равенство величины , характеризующей процесс между обкладками конденсатора, т. е. равенство двух величин, относящихся к разным областям пространства и имеющим различную физическую природу, не содержит в себе, вообще говоря, какого-то физического закона. Поэтому называть ”током” можно только формально. Для того чтобы придать этому названию физический смысл, необходимо доказать, что обладает наиболее характерными свойствами тока, хотя и не представляет движения электрических зарядов, подобного току проводимости. Главным свойством тока проводимости является его способность порождать магнитное поле. Поэтому решающим является вопрос о том, порождает ли ток смещения магнитное поле так же, как его порождают ток проводимости, или, более точно, порождает ли величина (25.2) такое же магнитное поле, как равная ей объемная плотность тока проводимости? Максвелл дал утвердительный ответ на этот вопрос. Однако наиболее ярким подтверждением порождения магнитного поля током смещения является существование электромагнитных волн. Если бы ток смещения не создавал магнитного поля, то не могли бы существовать электромагнитные волны.

Уравнение Максвелла с током смещения.

Порождение магнитного поля токами проводимости описывается уравнением

(25.3)

Учитывая порождение поля током смещения, необходимо обобщить это уравнение в виде

(25.4)

Тогда, принимая во внимание (25.2), окончательно получаем уравнение

, (25.5)

Являющееся одним из уравнений Максвелла.

Система уравнений Максвелла.

Полученная в результате обобщения экспериментальных данных, эта система имеет вид:

, (25.6)

Эти уравнения называются полевыми и справедливы при описании всех макроскопических электромагнитных явлений. Учет свойств среды достигается уравнениями

, (25.7)

Называемыми обычно Материальными уравнениями среды. Среды линейны, если и нелинейны если . Материальные уравнения, как правило, имеют вид функционалов.

Рассмотрим физический смысл уравнений.

Уравнение I выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися двумя возможными источниками магнитного поля. Уравнение II выражает закон электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле. Вторым источником электрического поля являются электрические заряды (уравнение IV). Уравнение III говорит о том, что в природе нет магнитных зарядов.

Полнота и совместность системы. Единственность решения.

В случае линейной среды можно исключить из полевых уравнений (25.6) величины в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов и , т. е. относительно шести неизвестных (у каждого вектора по 3 проекции). С другой стороны число скалярных уравнений в (25.6) равно восьми. Получается, что система состоит из 8 уравнений для 6 неизвестных. Однако в действительности система не переполнена. Это обусловлено тем, что уравнения I и IV, а также II и III имеют одинаковые дифференциальные следствия и поэтому связаны между собой.

Чтобы в этом убедиться возьмем от уравнения II и производную по времени от уравнения III. Получим:

,

Т. е. получили одинаковые дифференциальные следствия. Аналогично возьмем от уравнения I:

.

С из уравнения непрерывности следует, что . Тогда

или . Из IV следует, что

Наличие двух дифференциальных связей и делает систему уравнений Максвелла совместной. Более подробный анализ показывает, что система является полной, а ее решение однозначно при заданных начальных и граничных условиях.

Доказательство единственности решения в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности системы тоже является решением, но при нулевых зарядах и токах и нулевых начальных и граничных условиях. Отсюда, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом сохранения энергии заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т. е. решения одинаковы. Тем самым единственность решения уравнений Максвелла доказана.

Читайте также:  Чему равна мощность тока в электрической лампочке включенной в сеть с напряжением 220в если

Источник

Уравнения Максвелла

  • Уравнения Максвелла — основная идея и физическая суть
    • Что описывают четыре уравнения
  • Как записать в интегральной форме
    • Первое уравнение
    • Второе уравнение
    • Третье уравнение
    • Четвертое уравнение
  • Закон сохранения заряда в дифференциальной форме
  • Запись уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла — основная идея и физическая суть

Закономерности, выведенные Максвеллом, в электродинамике имеют такое значение, как, к примеру, законы Ньютона для классической механики и постулаты Эйнштейна в теории относительности. Это фундаментальные уравнения, которые подтверждены экспериментальным путем.

Уравнения Максвелла являются системой уравнений в дифференциальном или интегральном виде, которые описывают любые электромагнитные поля, взаимосвязи токов и электрических зарядов в разных средах, включая вакуум.

Уравнения Максвелла подвергались критике со стороны современников ученого, так как не вписывались в установленные стандарты и представления того времени. Однако закономерности послужили началом активного развития науки и причиной переворота в восприятии картины мира. Постулаты предшествовали открытию радиоволн и продемонстрировали электромагнитную природу света. Формулы Максвелла справедливы для макромира и области квантовой механики.

Что описывают четыре уравнения

  1. Из первой закономерности рассматривается поток электрического поля Е сквозь какую-либо поверхность замкнутого типа. Можно наблюдать зависимость между потоком и суммарным зарядом. Уравнение является законом или теоремой Гаусса.
  2. Второе уравнение Максвелла выражает закон Фарадея, на основе которого функционируют электрические моторы. В двигателях возникает ток в катушке в процессе вращения магнита.
  3. Третье уравнение Максвелла также представляет собой закон Гаусса, но в рамках электрического поля. В этом случае для потока магнитного поля будет характерно нулевое значение. Положительные и отрицательные заряды существуют отдельно друг от друга и порождают вблизи электрическое поле, а магнитные заряды — отсутствуют в природе.
  4. Четвертый постулат Максвелла имеет наибольшее значение. Исходя из уравнения, был введен термин тока смещения. Данная формула получила название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.

Смысл уравнений Максвелла:

  1. Первое уравнение — электрическое поле сформировано электрическим зарядом.
  2. Второе уравнение — вихревое электрическое поле формируется в результате изменений магнитного поля.
  3. Третье уравнение — магнитные заряды отсутствуют в природе.
  4. Четвертое уравнение — вихревое магнитное поле является результатом электрического тока и изменений электрической индукции.

Как записать в интегральной форме

Первое уравнение

Первое уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку закона полного тока. Формула выглядит следующим образом:

S опирается на контур L.

Согласно теореме Стокса:

Уравнение справедливо для любых поверхностей, которые опираются на материальный контур L. Исходя из этого, подынтегральные функции равны.

Данная формула является дифференциальной формой закона Ома.

Первое уравнение Максвелла имеет вид:

Физический смысл данной расшифровки заключается в том, что в качестве источников вихревых магнитных полей выступают токи проводимости и токи смещения.

Второе уравнение

Второе уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку закона электромагнитной индукции и ее свойств:

Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:

Физический смысл заключается в том, что переменное электрическое поле создается вихревым электрическим полем.

Третье уравнение

Третье уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную формулировку теоремы Гаусса для электрических полей:

С помощью теоремы Островского-Гаусса можно выполнить переход от поверхностного интеграла \( \left(\vec \right)\) к объемному интегралу ( \(div D\) ):

Можно записать правую часть формулы для объемного заряда. После объединения двух уравнений получим:

Третье уравнение Максвелла:

Физический смысл закономерности заключается в том, что электрическое поле образовано источниками в виде зарядов с определенной плотностью.

Четвертое уравнение

Четвертым уравнением Максвелла является дифференциальная формулировка теоремы Гаусса, справедливая в условиях магнитного поля:

Четвертое уравнение Максвелла имеет вид:

Физический смысл четвертого уравнения Максвелла выражается в нулевом значении дивергенции вектора \(\vec\) для какой-либо точки в пространстве. Таким образом, сделан вывод об отсутствии источников или магнитных зарядов в природе.

Закон сохранения заряда в дифференциальной форме

Данная формула имеет следующий вид:

С помощью теоремы Островского-Гаусс можно вывести уравнение, которое будет являться результатов предыдущих закономерностей:

Читайте также:  Электрический ток это поток электронов по

Источник

Понятие тока смещения в электродинамике Максвелла

Хорошее объяснение тока смещения дано в [1]. Закон полного тока для произвольного контура в магнитном поле гласит: циркуляция вектора магнитной индукции вдоль замкнутого контура L в вакууме пропорциональна алгеброической сумме всех токов, пронизывающих поверхность, натянутую на этот контур [2, с.247],
см. Рис.1,(1).
Применим этот закон к замкнутому контуру с конденсатором, см. Рис. 1.
Если в качестве поверхности выбрать S1, то циркуляция индукции по контуру L будет равна току I. Однако если кто-то предпочтёт использовать поверхность S2, получится конфуз – циркуляция обратится в нуль – S2 токи не пронизывают. Чтобы избавиться от этого, Максвелл предложил к сумме токов в правой часть уравнения добавлять функцию Рис.1, (2), где D – вектор электрического смещения. Для поверхности S1 она равна нулю, для S2 – току I. Эту добавку Максвелл не совсем удачно назвал током смещения – в конденсаторе, находящемся в вакууме, никакого переноса зарядов нет.
Если вообразить, что ток смещения в смысле переноса каких-то гипотетических зарядов реально существует (в целях удобства расчётов, скажем), то можно будет считать, что для переменного тока цепь с конденсатором является замкнутым контуром.
Но тут возникает вопрос, что будет с циркуляцией, если контур L расположить в самом конденсаторе? Максвелл предложил (судя по всему), считать, что циркуляция и здесь определится током смещения; ток смещения в конденсаторе порождает переменное магнитное поле.
Экспериментальных данных, подтверждающих эту гипотезу, у Максвелла тогда не было. Как нет их (убедительных) и поныне. Если же опираться на электродинамику Ампера-Вебера, то магнитное поле внутри конденсатора может возникнуть лишь тогда, когда за время прохождения сигнала между обкладками, существенно изменится частота сигнала.

Заключение
• Попытки измерить магнитное поле токов смещения напрямую уже в наше время предпринимались неоднократно. В корректно поставленных экспериментах обнаружить магнитное поле не удалось.
• Гипотеза Максвелла о том, что ток смещения является источником магнитного поля, не соответствует, на мой взгляд, действительности. Электродинамика Фарадея-Максвелла – тупиковый путь развития этого раздела физики.
• Важные для дальнейшего развития электродинамики эксперименты ещё ждут своих авторов.

Источники информации
1. Наркевич И.И., Волмянский Э.И., Лобко С.И. – Физика. Учебник. Мн.: Новое знание, 2004. – 680 с.
2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1990. – 624 с.
02.02.2015

Источник



Уравнения Максвелла. Первое уравнение Максвелла

Для описания электромагнитного поля было введено шесть векторов Е, Р, D, В, М и Н. Так как векторы электрического поля Е, Р, D связаны соотношением (1.4), а векторы магнитного поля В, М, Н – соотношением (1.15), то для определения электромагнитного поля можно ограничиться нахождением четырех векторов. Обычно в качестве таких векторов используют векторы Е, D, В и Н. В линейных изотропных средах, для которых справедливы соот­ношения (1.5) и (1.17), электромагнитное поле может быть пол­ностью определено двумя векторами (обычно Е и Н).

Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопи­ческой электродинамике, подчиняются законам, впервые сформу­лированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Макс­веллом, которые были опубликованы им в 1873 г. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных и называются уравнениями Максвелла.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера). В домаксвелловской формулировке это уравнение могло быть сформулировано следующим образом: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по замк­нутому контуру Г равна току I, пронизывающему данный контур:

(1.25)

где dl= τdl элемент контура Г, направленный по касательной к Г; τ орт этой касательной, положительное направление кото­рого выбирается в соответствии с обходом контура Г. В каче­стве контура Г может быть взят любой одновитковый замкнутый контур.

До Максвелла под током I понимали только ток проводимости. В общем случае распределение тока I внутри контура Г может быть неравномерным. При этом

(1.26)

где j – вектор плотности тока проводимости; S – произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г; dS = n0dS, a n0 – орт нормали к поверхности S (рис. 1.6). Направление вектора n0 определяется направлением обхода контура Г. Пусть для оп­ределенности все точки поверхности S расположены с одной стороны относительно контура Г. Тогда, если смотреть вдоль вектора n0, обход контура Г будет идти по часовой стрелке. Такую взаимосвязь направлений вектора n0 и обхода контура для краткости будем условно называть правовинтовой системой. Подставляя (1.26) в (1.25), получаем

Читайте также:  Действующее значение напряжения в сети переменного тока равно 220 чему равно амплитудное

(1.27)

Рис. 1.6. Орт нормали к поверхности S

Уравнение (1.27), справедливое при постоянном токе, ока­зывается неверным в случае переменных процессов. Дейст­вительно, рассмотрим конденсатор, включенный в цепь пере­менного тока (рис. 1.7). Пусть Г – замкнутый контур, охваты­вающий провод, по которому течет переменный ток. Правая часть уравнения (1.27) представляет собой интеграл от плотности тока проводимости j по произвольной поверхности S, опирающейся на контур Г. Эту поверхность можно провести так, чтобы она либо пересекла провод (поверхность S1 на рис. 1.7), либо прошла между обкладками конденсатора (поверхность S2). Интеграл в правой части уравнения (1.27) в первом случае равен току I, а во втором обращается в нуль. В то же время циркуляция напряженности магнитного поля по контуру Г (левая часть уравнения) не зависит от того, как проведена поверхность S. Это противоречие сви­детельствует о непригодности уравнения (1.27) для описания переменных полей.

Рис. 1.7. Конденсатор, включенный в цепь пере­менного тока

Максвелл дал обобщенную формулировку закона полного тока. Он ввел фундаментальное понятие тока смещения и, ос­новываясь на работах Фарадея, предположил, что в случае переменных полей ток смещения с точки зрения образования магнитного поля равноценен току проводимости. Примером эле­ктрической системы, в которой преобладают токи смещения, может служить рассмотренный выше конденсатор в цепи пе­ременного тока. Переменный ток может циркулировать между обкладками конденсатора даже в том случае, когда они разделены идеальным диэлектриком или находятся в вакууме и, следо­вательно, образование тока проводимости невозможно. Соеди­нительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен кольцевыми линиями магнитного поля, которые как бы образуют «оболочку» вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта «оболочка» не обрывается у пластин конденсатора, а образует непрерывную поверхность, т.е. изменяющееся электрическое поле конденсатора также окружено кольцевыми линиями магнитного поля. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля. Это дало основание ввести понятие о новом виде тока, получившем название тока смещения. Плотность тока смещения определяется формулой:

Как и плотность тока проводимости, она измеряется в А/м2.

Подчеркнем, что ток проводимости и ток смещения в вакууме имеют различную физическую сущность. Ток проводимости – это упорядоченное движение свободных электрических зарядов. Ток смещения в вакууме соответствует только изменению электри­ческого поля и не сопровождается каким-либо движением электрических зарядов. В вакууме D = ε0Е и уравнение (1.28) принимает вид .Ток смещения в вакууме не сопровождается выделением тепла.

Рассмотрим общий случай, когда ток смещения возникает в какой-либо среде. Вектор электрического смещения связан с векторами Е и Р соотношением (1.4). Подставляя это соотношение в (1.28), получаем

Первое слагаемое в правой части этой формулы совпадает с выражением для плотности тока смещения в вакууме, т.е. определяет как бы «чистый» ток смещения, не связанный непо­средственно с движением зарядов. Второе слагаемое определяет ток смещения, обусловленный движением зарядов, связанных с атомами вещества, в результате действия переменного поля. Эту составляющую тока смещения можно рассматривать как свое­образный ток проводимости, так как она, по существу, обусловлена упорядоченным перемещением связанных зарядов. На ее под­держание в реальной среде затрачивается некоторая часть энергии электромагнитного поля.

Вернемся к закону полного тока. Как уже указывалось, Макс­велл предположил, что уравнение (1.25) имеет частный характер, так как не учитывает токов смещения. Для того чтобы оно было справедливым и в случае переменных полей, нужно в его правую часть помимо тока проводимости I ввести ток смещения Iсм:

Ток смещения выражается через плотность тока смещения jcмсоотношением:

Подставляя формулы (1.26) и (1.30) в (1.29), получаем

Уравнение (1.31) сформулировано применительно к контуру конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Максвеллом этот закон был сформулирован также в диф­ференциальной форме. Для перехода к дифференциальной фор­ме воспользуемся теоремой Стокса (П. 20). Заменяя в уравнении (1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot H по поверхности S, получаем

Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32) возможно только в том случае, если

Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла. Векторное уравнение (1.33) эквивалентно трем скалярным урав­нениям, которые в декартовой системе координат х, у, z имеют вид

Источник